Als Arbeitgeber dürfen Sie mit Kündigung drohen

Frage: Ich habe einen Mitarbeiter überführt, dass er – entgegen einem klaren betrieblichen Verbot – mehrere Dutzend private E-Mails von seinem Arbeitsplatz versandt hat. Trotz zweier Abmahnungen hat er sich über das betriebliche Verbot wieder hinweggesetzt und seinen privaten E-Mail-Verkehr vom Arbeitsplatz aus durchgeführt. Ich habe ihm deswegen einen Aufhebungsvertrag vorgelegt und mit der Kündigung gedroht, falls er diese Aufhebungsvereinbarung nicht unterzeichnet. Der Mitarbeiter hat sich ein Betriebsratsmitglied zur Beratung an seine Seite geholt. Das Betriebsratsmitglied sagte mir, dass diese Drohung verboten und damit der ganze Aufhebungsvertrag unwirksam sei. Stimmt das?